这是前天成都网赛的题,比赛时候确实一点思路也没有。比完之后看了人家的解题报告,还是不会怎么搜出答案,太弱了。
题意是给出N,K,求M,使得M是N的正倍数,而且M用K进制表示后所需要的不同数字(0,1,2,3,…,k-1)最少,如果有多组这样的情况,求出最小的M。很数学的题意。
用到了一个结论,就是任意数字的正倍数均可以用不超过2个不同数字的数得到。
证明如下:
任意数M % N 总共有N种结果,假如有N+1个不同的M,那么肯定有2个M对N取模后的结果是相同,这个是所谓鸽巢原理。那么,我取a,aa,aaa,…,aaaaaaaaaa….,总共N+1个,同样满足上面的结论。那么我取那2个对N取模相同的数字相减得到数字aaaaa…000….,这个数字肯定是N的倍数。
综合上面的证明,只能得到2个数字肯定能表示N的倍数。但是不能说形式就是aaaaa…000….。

到了这里我还是一点思路都没有,一点都不知道怎么搜索。。。
想了1个多小时,无头绪,问过了这题的同学,还是无头绪。看解题报告,他们的代码写得太牛了,完全看不懂,无头绪。也许也是我对bfs理解太浅,才看不懂他们的搜索代码。而且,我连可以搜索的地方都没有找到,都不知道搜什么了。
想了好久,昨天吃饭的时候,终于发现可以对余数进行搜索。
对于任意的N,其余数就是范围是[0, N -1]。这个其实就可以代表状态了,或者代表bfs中的点了。从当前余数转移到其它余数的是MOD K + A 或者 MOD K + B,如果要转移到得余数以前没被搜过,那就可以转移过去。这个刚好就是一个优化了。也可以看成是子问题了。但是,dfs完全不行。刚开始用dfs,绝对的超时。
用dfs也是我对思路理解不深,侥幸认为能过。。。后面发现,这题完全和bfs吻合。[0, N -1]刚好代表N个点,我要通过从外面的一个点,最短的遍历到点0,可以bfs或者最短路算法。这题我觉得还有个难点就是保存答案,因为答案最长的长度可能是N(N<=10000),所以把答案直接放到节点里面肯定不行的。但是,我还仔细看过算法导论。因此想到了可以利用bfs搜索出来的那颗树或者最短路算法跑出来的那颗树,从目标节点逆序寻找答案,找到出发节点之后,再把答案reverse一下就行了。
这题还得注意0不能是N的倍数,所以注意bfs(0,i)这种情况的处理。

代码如下:

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#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAX_N = 10010;
int nOut[MAX_N];
int nOLen;
int nAns[MAX_N];
int nALen;
bool bMod[MAX_N];
int nFather[MAX_N];
int nChoose[MAX_N];
int nN;
int nK;
bool bFind;

int Cmp(int* A, int nLA, int* B, int nLB)
{
if (nLA != nLB)
{
return nLA - nLB;
}
for (int i = 0; i < nLA; ++i)
{
if (A[i] != B[i])
{
return A[i] - B[i];
}
}
return 0;
}

void Bfs(int nA, int nB)
{
memset(bMod, false, sizeof(bMod));
queue<int> que;
que.push(0);
int nTemp;
bool bFirst = true;
bFind = false;

if (nA > nB)swap(nA, nB);
//printf("nA:%d, nB:%d\n", nA, nB);
while (!que.empty())
{
//printf("nMod:%d\n", que.front());
int nMod = que.front();
que.pop();
if (nMod == 0)
{
if (bFirst)bFirst = false;
else
{
bFind = true;
break;
}
}

nTemp = (nMod * nK + nA) % nN;
if (!(nMod == 0 nA == 0) !bMod[nTemp])
{
nFather[nTemp] = nMod;
nChoose[nTemp] = nA;
que.push(nTemp);
bMod[nTemp] = true;
//printf("nTemp:%d\n", nTemp);
}
if (nA == nB)continue;
nTemp = (nMod * nK + nB) % nN;
if (!bMod[nTemp])
{
nFather[nTemp] = nMod;
nChoose[nTemp] = nB;
que.push(nTemp);
bMod[nTemp] = true;
//printf("nTemp:%d\n", nTemp);
}
}

if (bFind)
{
int nF = 0;
nALen = 0;
do
{
nAns[nALen++] = nChoose[nF];
nF = nFather[nF];
}
while (nF);
reverse(nAns, nAns + nALen);
}
}

int main()
{
while (scanf("%d%d", &nN, &nK) == 2)
{
bool bOk = false;
nOLen = 0;
for (int i = 1; i < nK; ++i)
{
Bfs(i, i);
if (bFind)
{
if (nOLen == 0 || Cmp(nOut, nOLen, nAns, nALen) > 0)
{
nOLen = nALen;
memcpy(nOut, nAns, sizeof(int) * nALen);
}
bOk = true;
}
}
if (!bOk)
for (int i = 0; i < nK; ++i)
{
for (int j = i + 1; j < nK; ++j)
{
Bfs(i, j);
if (bFind)
{
if (nOLen == 0 || Cmp(nOut, nOLen, nAns, nALen) > 0)
{
nOLen = nALen;
memcpy(nOut, nAns, sizeof(int) * nALen);
}
}
}
}
for (int k = 0; k < nOLen; ++k)
{
printf("%d", nOut[k]);
}
printf("\n");
}

return 0;
}


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