poj 2480 Longge's problem

题意就是给出个数n,求Σgcd(i,n)(1<=i<=n)。感觉好奇葩的题目,数论的题确实比较难想,没看出跟欧拉函数有什么关系。很纠结,没心情没时间继续想了。看了discussion,然后又去搜了下答案,发现有个哥们也得非常不错,就看了下思路了。
这个题的解法是枚举i(1<=i<=n),如果i|n,那么答案加上euler(n/i) * i。其实ans = Σi * euler(n/i)(i<=i<=n而且i|n)。意思是从1到n的所有数字i,如果i是n的因子,那么计算 i * euler(n/i),加入答案中,euler是欧拉函数的意思。
为什么是这样的了。比如,1到n中有m个数字和n拥有公共的最大因子i,那么就需要把m * i加入答案中。问题是如何计算m的个数。因为gcd(m,n) = i,可以得到gcd(m/i,n/i)=1,那么m/i就是n/i的乘法群中的数字了,那么一共存在euler(n/i)个m/i了,那么就可以推出m的个数就是euler(n/i)。

代码如下:

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#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MAX (6000000)
bool bPrime[MAX];

void InitPrime()
{
int nMax = sqrt((double)MAX) + 1;
bPrime[0] = bPrime[1] = true;
for (int i = 2; i <= nMax; ++i)
{
if (!bPrime[i])
{
for (int j = 2 * i; j < MAX; j += i)
{
bPrime[j] = true;
}
}
}
}

bool IsPrime(long long nN)
{
if (nN < MAX)return !bPrime[nN];
long long nMax = sqrt((double)nN) + 1;
for (int i = 2; i <= nMax; ++i)
{
if (nN % i == 0)
return false;
}
return true;
}

long long Euler(long long nN)
{
long long nAns = 1;

//printf("nN:%I64d,", nN);
if (IsPrime(nN))nAns = nN - 1;
else
for (int i = 2; i <= nN; ++i)
{
if (nN % i == 0)
{
nAns *= i - 1;
nN /= i;
while (nN % i == 0)
{
nAns *= i;
nN /= i;
}
if (IsPrime(nN))
{
nAns *= nN - 1;
break;
}
}
}

//printf("nAns:%I64d\n", nAns);
return nAns;
}

int main()
{
long long nN;

InitPrime();
while (scanf("%I64d", &nN) == 1)
{
long long nAns = 0;
long long nMax = sqrt((double)nN) + 1e-8;
for (long long i = 1; i <= nMax; ++i)
{
if (nN % i == 0)
{
//printf("i:%I64d\n", i);
nAns += i * Euler(nN / i);
if (i * i != nN)
nAns += (nN / i) * Euler(i);
}
}
printf("%I64d\n", nAns);
}

return 0;
}